Bernoulli

Grundlagen des Bernoulli-Experiments und der Bernoulli-Kette.

Kurzüberblick

• Nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p$
• Wiederholung eines Bernoulli-Experiments → Bernoulli-Kette
• Verteilung für exakt $k$ Treffer: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{\,n-k}$

Was ist ein Bernoulli-Experiment?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein sehr einfaches Zufallsexperiment: Es kann nur zwei mögliche Ergebnisse geben – Erfolg oder Misserfolg.

• $E$: Erfolg
• $\overline{E}$: Misserfolg

Für den Erfolg wird eine feste Wahrscheinlichkeit $p$ festgelegt, also $p = P(E)$.
Da es nur diese beiden Ausgänge gibt, folgt automatisch, dass der Misserfolg mit der Wahrscheinlichkeit $1 - p$ eintritt.

Wichtig ist: Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht. Ein Bernoulli-Experiment hat also immer denselben Aufbau und dieselben Chancen – egal wie oft es wiederholt wird.

Typische Beispiele sind:

• Münzwurf (Kopf = Erfolg, Zahl = Misserfolg)
• Würfelwurf (z. B. 6 ist Erfolg)
• Glücksrad mit nur zwei möglichen Bereichen

Was ist eine Bernoulli-Kette?

Wird ein Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander unter denselben Bedingungen wiederholt, entsteht eine Bernoulli-Kette.

Dabei gelten drei wichtige Voraussetzungen:

1. Unabhängigkeit: Der Ausgang eines Versuches hat keinen Einfluss auf die anderen. Jeder Versuch ist quasi „neu“.

2. Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit: In jedem Versuch gilt dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.

3. Nur Erfolg oder Misserfolg: Jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ergebnisse.

Wird das Experiment $n$-mal wiederholt, entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge $n$.

Beispiel:

Man wirft eine faire Münze 10-mal. Dann ist

• $n = 10$
• $p = 0{,}5$
• und jeder Versuch ist unabhängig vom vorherigen.

Eine Bernoulli-Kette beschreibt also eine Serie von „Mini-Experimenten“, die alle gleich funktionieren. Die zugehörige Zufallsvariable $X$ zählt später, wie viele Erfolge insgesamt auftreten.