Naturpark Touristen

S. 178

Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß $14$ % das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.

Für eine Stichprobe werden $800$ Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt.

Aufgabe A

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau $36$ Radausflügler befinden.

1. Ansatz

   Einzelwahrscheinlichkeit berechnen.

   Gegeben:

   $$\begin{alignedat}{1} n &= 300 \\ p &= 0.14 \\ k &= 36 \end{alignedat}$$
2. Mit CAS berechnen

   Taschenrechnerbefehl

   1. $\boxed{\text{menu}}$
   2. Wahrscheinlichkeit (5)
   3. Verteilung (5)
   4. Binomial Pdf (A)

   

   $\boxed{binomPdf(300,0.14,36) \approx 0.042}$

3. Antwort

   Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau 3636 Radausflügler befinden beträgt ungefähr $4,2 \, \%$.

Aufgabe B

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 \, \%$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl.

1. Erwartungswert berechnen

   Berechne den Erwartungswert mit den gegeben Werten:

   $E(X)= n \cdot p = 300 \cdot 0.14 = 42$

2. Schwellwert berechnen

   Da wir mindestens $10 \, \%$ mehr über dem zu erwartenden Wert liegen wollen, berechnen wir:

   $$1.10 \cdot 42 = 46.2$$
3. Schwellwert aufrunden

   Da $X$ lediglich ganzzahlig sein kann, gilt $46.2 \Rightarrow 47$ (Es gibt keine halben Personen).

4. Kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnen

   Nun müssen wir die kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnen.

   Gegeben:

   $$\begin{alignedat}{1} n &= 300 \\ p &= 0.14 \\ n &\geq k \geq 47 \end{alignedat}$$

   In Formel einsetzen

   $$P(X \leq 47) = \sum ^ {300} _ {i = 47} \binom {300}{i} \cdot 0.14 ^i \cdot (1-0.14) ^{300 - i}$$

   Taschenrechnerbefehl

   1. $\boxed{\text{menu}}$
   2. Wahrscheinlichkeit (5)
   3. Verteilung (5)
   4. Binomial Cdf (B)

   

   $\boxed{binomCdf(300,0.14,47,300) \approx 0,2243}$

5. Antwort

   Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 \, \%$ größer als der Erwartungswert für diese Anzahl ist, beträgt ungefähr $22.43\, \%$.

Um den Naturpark als Reiseziel attraktiver zu machen, setzt der dortige Tourismusverband Shuttelbusse ein. Die Fahrkarten dür diese Busse können ausschließlich online gebucht werden und sind jeweils für einen bestimmten Tag gültig. Erfahrungsgemäß werden $80$ % aller gebuchter Fahrkarten spätestens am Vortag der Fahrt gebucht. Von diesen spätestens am Vortag gebuchten Fahrkarten werden $90$ % auch täglich genutzt. Bei den restlichen, erst am Tag der Fahrt gebuchten Fahrkarten liegt der Anteil mit $95$ % etwas höher.

Aufgabe C

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

Aufgabe D

Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

„Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortrag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.“

1. Ereignisse festlegen und bekannt Wahrscheinlichkeiten nutzen

   Wir verwenden die Ereignisse aus dem Baumdiagramm:

   • $B_V$: Fahrkarte wurde spätestens am Vortag gebucht
   • $B_T$: Fahrkarte wurde am Tag der Fahrt gebucht
   • $N$: Fahrkarte wird nicht genutzt

   Aus dem Baumdiagramm kennen wir bereits die Pfadwahrscheinlichkeiten:

   $$\begin{aligned} P(B_V \cap N) &= 0.80 \cdot 0.10 = 0.08 \\ P(B_T \cap N) &= 0.20 \cdot 0.05 = 0.01 \end{aligned}$$
2. Wahrscheinlichkeit für eine nicht genutzte Fahrkarte

   Zuerst berechnen wir die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fahrkarte nicht genutzt wird. Dazu addieren wir die beiden Pfade, die zu „nicht genutzt“ führen:

   $$P(N) = P(B_V \cap N) + P(B_T \cap N) = 0.08 + 0.01 = 0.09$$
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

   Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten

   • $P(B_V \mid N)$: Fahrkarte wurde spätestens am Vortag gebucht, unter der Bedingung, dass sie nicht genutzt wurde
   • $P(B_T \mid N)$: Fahrkarte wurde am Tag der Fahrt gebucht, unter der Bedingung, dass sie nicht genutzt wurde

   Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

   $$P(A \mid B) = \frac {P (A \cap B)}{P (B)}$$

   erhalten wir:

   $$\begin{aligned} P(B_V \mid N) &= \frac{P(B_V \cap N)} {P(N)} &= \frac{0.08}{0.09} &= \frac{8}{9} &\approx 0.8889 \\ P(B_T \mid N) &= \frac {P(B_V)}{P(N)} &= \frac {0.01}{0.09} &= \frac {1} {9} &\approx 0.1111 \end{aligned}$$
4. Verhältnisse bilden und Aussage beurteilen

   Nun vergleichen wir die beiden Wahrscheinlichkeiten:

   $$\frac {P(B_V \mid N)}{P(B_T \mid N)} = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{9}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{1} = 8$$

   Das bedeutet:

   $$P(B_V \mid N) = 8 \cdot P(B_T \mid N)$$

   Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist tatsächlich achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

   Die gegeben Aussage ist also richtig.