Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeits

Kurzüberblick

• Bestimmt die Anzahl von Erfolgen in $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen
• Zwei Ergebnisse pro Versuch: Erfolg oder Misserfolg
• Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt immer gleich
• Einzelwahrscheinlichkeit: $\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
• Erwartungswert: $E(X) = n \cdot p$

Was ist eine Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeiten dafür, wie oft ein bestimmtes Ereignis (der „Erfolg“) in einer festen Anzahl von gleichartigen und unabhängigen Zufallsexperimenten auftritt.

Betrachtet wird dabei eine Folge von Experimenten, bei denen es immer nur zwei mögliche Ausgänge gibt: Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg beträgt in jedem einzelnen Versuch $p$ und bleibt bei allen Wiederholungen gleich. Die zugehörige Zufallsvariable $X$ zählt dann, wie viele Erfolge in den $n$ Versuchen vorkommen.

Da nur bestimmte, zählbare Werte wie $0,1,2, \dots, n$ möglich sind, handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ein typisches Beispiel ist das mehrmalige Werfen einer Münze oder eines Würfels.

Formel: $\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{\,n-k}$

Diese Formel gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge auftreten. Dabei ist

• $n$ die Größe der Stichprobe,
• $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit des Ereignisses,
• $k$ die Anzahl der Erfolge im Zufallsexperiment,
• und $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient.

Formeln

Einzelwahrscheinlichkeit

Bei n Versuchen genau k Erfolge

Die Wahrscheinlichkeit, in $n$ unabhängigen Versuchen genau $k$ Erfolge zu erzielen, lautet:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{\,n-k}.$$

Die Formel setzt sich aus mehreren Teilen zusammen:
Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt, auf wie viele verschiedene Arten die $k$ Erfolge innerhalb der $n$ Versuche angeordnet sein können.
Der Term $p^k$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau diese $k$ Erfolge eintreten, und $(1-p)^{\,n-k}$ steht für die Wahrscheinlichkeit der restlichen Misserfolge.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Bei n Versuchen höchstens k Erfolge

Oft interessiert man sich nicht nur für genau $k$ Erfolge, sondern dafür, dass höchstens $k$ Erfolge auftreten. Diese kumulierte Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von $0$ bis $k$:

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{\,n-i}.$$

Damit wird jede mögliche Anzahl an Erfolgen berücksichtigt, die kleiner oder gleich der gewünschten Obergrenze $k$ ist.

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable beschreibt den durchschnittlichen Wert, welcher bei sehr vielen Wiederholungen des gesamten Experiments erwartet wird.

Da es in jedem der $n$ Versuche mit Wahrscheinlichkeit $p$ zu einem Erfolg kommt, ergibt sich der Erwartungswert ganz einfach zu:

$$\boxed{ \mu = E(X) = n \cdot p }$$