Füllgewichte von Kakaopackungen

Abi Aufgabe S. 34

Ein Unternehmen stellt Kakaoupulver her Die Zufallsgröße $X$ beschreibt das Füllgewicht der Packungen in Gramm (g) und wird als normalverteilt angenommen. Der Erwartungswert des Füllgewichts beträgt $125g$. Die Standardabweichung beträgt $2g$.

Alle Gewichte sind in Gramm auf eine Nachkommastelle gerundet, anzugeben.

Show A

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Füllgewicht einer beliebigen Packung

1. zwischen $124,5$ g und $125,4$ g liegt.
2. über $127,0$ g liegt.
3. höchstens $122,0$ g beträgt.

Bestimmen Sie das größte Gewicht, das mindestens $95$ % der Packungen überschreiten.

1.

1. Standardisierung

   Gegeben ist $X \sim N(\mu = 125, \sigma = 2)$.

   Gesucht ist:

   $$P(124.5 \le X \le 125.4)$$

   Wir standardisieren mit

   $$Z = \frac {X - \mu}{\sigma}$$

   Damit:

   $$\begin{aligned} z_1 &= \frac{124.5 - 125}{2}=\frac{-0.5}{2}= -0.25 \\ z_2 &= \frac {125,4- 125}{2}= \frac{0,4}{2}=0.2 \end {aligned}$$

   Also:

   $$P(124.5\le X \le 125.4) = P(-0.25 \le Z \le 0.2) = \Phi (0.2)- \Phi (-0.25)$$
2. Mit Taschenrechner berechnen

2.

1. New Step

3.

1. New Step

Show B

Der Hersteller überprüft seine Abfüllmaschiene. Dafür untersucht er $500$ Packungen, die von dieser Maschine abgefüllt wurden. Ein zu geringes Füllgewicht ist gegeben, wenn dieses mehr als $4,5$ g unter dem Erwartungswert liegt.

Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage mithilfe einer geeigneten Bionmialveteilung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $2$ % der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben, beträgt etwa $4,6$ %.

Ein Großhändler erhält $10$ Lieferungen mit jeweils $500$ Packungen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens einer dieser Lieferungen mehr als $2$ % der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben.

Gültigkeit der Aussage

Wahrscheinlichkeit für zu geringes Füllgewicht

Show C

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die normalverteilte Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $\mu = 125$ und der Standardabweichung $\sigma = 2$ gegeben.

Betrachtet werden Intervalle $[a;b]$ mit folgenden Eigenschaften:

• $a$ und $b$ sind beide größer als der Erwartungswert.
• Der Abstand vom Erwartungswert ist für $b$ doppelt so groß wie für $a$.

Bestimmen Sie die beiden Werte von $a$, für die gilt: $P(a \leq X \leq b) = 0,1$.

1. New Step

Aufgabe A

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Füllgewicht einer beliebigen Packung

1. zwischen $124.5$ g und $125.4$ g liegt.
2. über $127.0$ g liegt.
3. höchstens $122.0$ g beträgt.

Bestimmen Sie das größte Gewicht, das mindestens $95$ % der Packungen überschreiten.

1.

1. Zwischen $124.5$ g und $125.4$ g

1. Standardisierung

   Gegeben: $X \sim N(\mu = 125,\ \sigma = 2)$.

   Gesucht ist:

   $$P(124.5 \le X \le 125.4).$$

   Standardisierung mit $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$:

   $$z_1 = \frac{124.5 - 125}{2} = -0.25,\quad z_2 = \frac{125.4 - 125}{2} = 0.20.$$

   Damit:

   $$P(124.5 \le X \le 125.4) = P(-0.25 \le Z \le 0.20).$$
2. Mit CAS / Taschenrechner berechnen

   Mit einem geeigneten Befehl, z. B.:

   normalCdf(124.5, 125.4, 125, 2)
   

   erhält man:

   $$P(124.5 \le X \le 125.4) \approx 0.1780.$$
3. Antwort

   Die Wahrscheinlichkeit, dass das Füllgewicht zwischen $124.5\ \text{g}$ und $125.4\ \text{g}$ liegt, beträgt ungefähr $17.8\,\%$.

2.

2. Über $127.0$ g

1. Standardisierung

   Gesucht:

   $$P(X > 127.0).$$

   Standardisierung:

   $$z = \frac{127.0 - 125}{2} = 1.$$

   Also:

   $$P(X > 127.0) = P(Z > 1).$$
2. Mit CAS / Taschenrechner berechnen

   Zum Beispiel:

   normalCdf(127.0, 10^9, 125, 2)
   

   Ergebnis:

   $$P(X > 127.0) \approx 0.1587.$$
3. Antwort

   Die Wahrscheinlichkeit, dass das Füllgewicht über $127.0\ \text{g}$ liegt, beträgt ungefähr $15.9\,\%$.

3.

3. Höchstens $122.0$ g und größtes Gewicht, das mindestens 95 % überschreiten

1. a) Wahrscheinlichkeit für höchstens 122,0 g

   Gesucht:

   $$P(X \le 122.0).$$

   Standardisierung:

   $$z = \frac{122.0 - 125}{2} = -1.5.$$

   Also:

   $$P(X \le 122.0) = P(Z \le -1.5).$$

   Mit CAS:

   normalCdf(-10^9, 122.0, 125, 2)
   

   ergibt:

   $$P(X \le 122.0) \approx 0.0668.$$
2. b) Größtes Gewicht, das mindestens 95 % überschreiten

   „Mindestens 95 % überschreiten das Gewicht $w$“ bedeutet:

   $$P(X > w) = 0.95.$$

   Das ist äquivalent zu:

   $$P(X \le w) = 0.05.$$

   $w$ ist also das 5 %-Quantil von $N(125,2^2)$.

   Standardisierung:

   $$P(X \le w) = 0.05 \quad \Leftrightarrow \quad P\Bigl(Z \le \frac{w-125}{2}\Bigr) = 0.05.$$

   Aus der Standardnormalverteilung:

   $$z_{0.05} \approx -1.645.$$

   Rückrechnung:

   $$w = 125 + 2 \cdot (-1.645) \approx 125 - 3.29 \approx 121.7.$$
3. Antwort

   • $\displaystyle P(X \le 122.0) \approx 6.7\,\%$.

   • Das größte Gewicht, das mindestens $95\,\%$ der Packungen überschreiten, beträgt

     $$w \approx 121.7\ \text{g}.$$

   (Auf eine Nachkommastelle gerundet.)

Aufgabe B

Der Hersteller überprüft seine Abfüllmaschine. Dafür untersucht er $500$ Packungen, die von dieser Maschine abgefüllt wurden. Ein zu geringes Füllgewicht ist gegeben, wenn dieses mehr als $4.5$ g unter dem Erwartungswert liegt.

Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage mithilfe einer geeigneten Binomialverteilung:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als % der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben, beträgt etwa %.

Ein Großhändler erhält $10$ Lieferungen mit jeweils $500$ Packungen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens einer dieser Lieferungen mehr als $2$ % der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben.

Gültigkeit der Aussage

1. Wahrscheinlichkeit für zu geringes Füllgewicht (einzelne Packung)

   „Zu geringes Füllgewicht“ bedeutet:

   $$X < 125 - 4.5 = 120.5\ \text{g}.$$

   Standardisierung:

   $$z = \frac{120.5 - 125}{2} = -2.25.$$

   Also:

   $$p = P(X < 120.5) = P(Z < -2.25).$$

   Mit CAS:

   normalCdf(-10^9, 120.5, 125, 2)
   

   erhält man:

   $$p \approx 0.0122 \quad \Rightarrow \quad 1.22\,\%\ \text{zu geringe Packungen}.$$
2. Binomialmodell für 500 Packungen

   Es werden $n = 500$ Packungen geprüft.
   Zufallsgröße:

   $$Y = \text{Anzahl der Packungen mit zu geringem Füllgewicht}.$$

   Dann:

   $$Y \sim \text{Bin}(n = 500,\ p \approx 0.0122).$$

   „Mehr als 2 % der Packungen“ bedeutet:

   $$2\,\% \text{ von } 500 = 10\ \text{Packungen},\quad Y > 10 \Leftrightarrow Y \ge 11.$$
3. Mit CAS / Taschenrechner berechnen

   Gesucht:

   $$P(Y > 10) = P(Y \ge 11) = 1 - P(Y \le 10).$$

   Mit einem geeigneten Befehl, z. B.:

   binomCdf(500, 0.0122, 0, 10)   →  P(Y ≤ 10)
   1 - binomCdf(500, 0.0122, 0, 10)   →  P(Y ≥ 11)
   

   Ergebnis:

   $$P(Y \ge 11) \approx 0.046 \quad \text{(also etwa }4.6\,\%\text{)}.$$
4. Antwort

   Die Wahrscheinlichkeit, dass bei $500$ geprüften Packungen mehr als 2 % ein zu geringes Füllgewicht haben, beträgt ungefähr

   $$4.6\,\%.$$

   Die angegebene Aussage ist damit erfüllt.

Wahrscheinlichkeit für Lieferungen

1. Neue Zufallsgröße für Lieferungen

   Für jede Lieferung mit $500$ Packungen betrachten wir das Ereignis:

   A:\ \text{„Mehr als 2 % der Packungen haben zu geringes Füllgewicht“}.

   Aus dem ersten Teil:

   $$P(A) \approx 0.046.$$

   Der Großhändler erhält $10$ Lieferungen.
   Zufallsgröße:

   $$Z = \text{Anzahl der Lieferungen, bei denen } A \text{ eintritt}.$$

   Dann:

   $$Z \sim \text{Bin}(n = 10,\ p \approx 0.046).$$
2. Gesucht: höchstens eine „schlechte“ Lieferung

   „Höchstens eine dieser Lieferungen“ bedeutet:

   $$Z \le 1.$$

   Also:

   $$P(Z \le 1) = P(Z = 0) + P(Z = 1).$$

   Mit der Binomialformel:

   $$P(Z = 0) = (1-p)^{10},$$$$P(Z = 1) = \binom{10}{1}\,p\,(1-p)^9 = 10p(1-p)^9.$$
3. Mit CAS / Taschenrechner berechnen

   Zum Beispiel:

   binomPdf(10, 0.046, 0)   →  P(Z = 0)
   binomPdf(10, 0.046, 1)   →  P(Z = 1)
   

   Dann:

   $$P(Z \le 1) \approx 0.924 \quad \Rightarrow \quad 92.4\,\%.$$
4. Antwort

   Die Wahrscheinlichkeit, dass bei höchstens einer der $10$ Lieferungen mehr als $2\,\%$ der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben, beträgt ungefähr

   $$92.4\,\%.$$

Aufgabe C

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die normalverteilte Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $\mu = 125$ und der Standardabweichung $\sigma = 2$ gegeben.

Betrachtet werden Intervalle $[a;b]$ mit folgenden Eigenschaften:

• $a$ und $b$ sind beide größer als der Erwartungswert.
• Der Abstand vom Erwartungswert ist für $b$ doppelt so groß wie für $a$.

Bestimmen Sie die beiden Werte von $a$, für die gilt: $P(a \leq X \leq b) = 0.1$.

1. Zusammenhang zwischen a und b herstellen

   Gegeben: $X \sim N(125,2^2)$.

   Beide Grenzen liegen rechts vom Erwartungswert, und der Abstand von $b$ ist doppelt so groß wie der von $a$.
   Sei:

   $$a = 125 + d,\quad d > 0.$$

   Dann ist:

   $$b - 125 = 2(a - 125) \Rightarrow b - 125 = 2d \Rightarrow b = 125 + 2d.$$

   Gesucht sind die positiven Werte von $d$, für die:

   $$P(a \le X \le b) = 0.1.$$
2. Standardisierung und Wahrscheinlichkeitsbedingung

   Standardisierung mit

   $$Z = \frac{X - 125}{2}.$$

   Dann gilt:

   $$a = 125 + d \Rightarrow z_1 = \frac{a - 125}{2} = \frac{d}{2},$$$$b = 125 + 2d \Rightarrow z_2 = \frac{b - 125}{2} = d.$$

   Also:

   $$P(a \le X \le b) = P(125 + d \le X \le 125 + 2d) = P\Bigl(\tfrac{d}{2} \le Z \le d\Bigr).$$

   Die Bedingung aus der Aufgabe wird damit zu:

   $$P\Bigl(\tfrac{d}{2} \le Z \le d\Bigr) = 0.1.$$
3. Gleichung mit CAS / Taschenrechner lösen

   Schreibe die Gleichung mit der Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung:

   $$\Phi(d) - \Phi\Bigl(\tfrac{d}{2}\Bigr) = 0.1.$$

   Diese Gleichung wird mit einem Solver im CAS/GTR numerisch gelöst.
   Dabei erhält man zwei positive Lösungen:

   $$d_1 \approx 0.547,\quad d_2 \approx 2.492.$$

   Zugehörige Intervallgrenzen:

   $$a_1 = 125 + d_1 \approx 125.55,\quad b_1 = 125 + 2d_1 \approx 126.09,$$$$a_2 = 125 + d_2 \approx 127.49,\quad b_2 = 125 + 2d_2 \approx 129.98.$$
4. Runden und Interpretation

   Entsprechend der Angabe („auf eine Nachkommastelle gerundet“) erhält man:

   • Erstes Intervall:

     $$a_1 \approx 125.5\ \text{g},\quad b_1 \approx 126.1\ \text{g}.$$

   • Zweites Intervall:

     $$a_2 \approx 127.5\ \text{g},\quad b_2 \approx 130.0\ \text{g}.$$

   In beiden Fällen gilt näherungsweise:

   $$P(a \le X \le b) \approx 0.1.$$
5. Antwort

   Es gibt zwei passende Werte für $a$ (auf eine Nachkommastelle gerundet):

   $$a_1 \approx 125.5\ \text{g},\qquad a_2 \approx 127.5\ \text{g}.$$

   Die zugehörigen oberen Grenzen sind:

   $$b_1 \approx 126.1\ \text{g},\qquad b_2 \approx 130.0\ \text{g},$$

   und für beide Intervalle gilt näherungsweise $P(a \le X \le b) = 0.1$.